62. 问： 像牛顿三大定律这样的模型在社会科学中存在吗？如果存在的话又如何去发现、寻找？

63．沙： 这里还涉及到另一个深层次的问题就是公理观与真理观。 人类，特别是数学界曾经将公理看作“无需证明的真理”，首先肯定其作为真理的地位，然后才能在此基础上进行推理演绎。 然而，人们缺乏证明“公理就是真理”的方法。 “说明”（而非“证明”）公理就是真理的“最好”方法当然就是公理的表述正是人们公认的常识或观念。例如牛顿第二定律 就反映了对于力和质量的概念，力是引起加速度的原因，而质量就是保持其运动状态不变的能力的度量或惯量。

 但是人们逐渐发现，曾经被认为是公理的一些命题、判断，并非真理，或者并非绝对真理。 在力学中牛顿三大定律曾经被认为是力学世界中的绝对真理，但随着相对论与量子力学的诞生，人们发现力学世界中还存在更复杂的现象和规律，在接近于光速运动的情况下和微观世界中牛顿力学不再成立， 首先牛顿的绝对时空观不再成立，同时牛顿第二定律也不再成立。这在力学界，甚至整个科学界是极大的贡献，也为传统的公理观和真理观带来极大的冲击。 然而在数学界这种冲击来得更早。

64. 问：数学界出了什么事？

65． 沙： 形式逻辑与数学，特别是集合论关系特别密切。人们逐渐发现了形式逻辑与集合论中的一些悖论。当然这些悖论通过适当地修改一些概念（即定义）就解决了，因此一直没有被认为是大问题。 真正产生大问题，引起重要反响的则是平行公理。 二千年前欧几里德提出了几何学五大公理体系，这种几何学后来被称为欧氏几何。欧氏几何整个建筑在五大公理体系与形式逻辑基础之上，许多直观上难以发现的规律，在欧氏几何中都可以获得证明。因此欧几里德创立欧氏几何在科学界中有十分重要的影响，并且树立了运用形式逻辑与公理化方法的典范。 欧几里德当时有一个问题始终解决不了，他不知道平行公理，即“平面上过直线外一点有且仅有一条直线与该直线不相交”究竟应该作为公理还是定理。看起来似乎这个命题可以由其它公理出发给予证明，因而应该是定理。但是始终找不到这个证明。如果这种证明不存在，那么它应该是公理。因此欧几里德将这个命题称为“第五公设”。欧几里德就带着这个遗憾离开了人世。

66． 问：后来这个问题解决了没有？

67. 沙： 一千多年后，这个问题被罗巴契夫斯基以完全出乎众人意料的方式解决了。他提出了与欧氏第五公理相反的平行公理：“平面上过直线外一点至少有二条直线与该直线不相交”，将欧几里德的平行公理换为罗巴契夫斯基的平行公理，这样的几何称为罗氏几何，罗巴契夫斯基证明了：罗氏几何与欧氏几何具有同样的合理性！ 他的证明方法是这样的：如果欧氏几何是成立的，那么可以在欧氏几何上构造一个罗氏几何。构造方法如下。选定欧氏平面上的一条直线，将点定义为该平面上该直线一侧的所有点（不包含该平面上的点），而直线定义为以该直线上的点为圆心在该直线一侧的欧氏半圆或过该点与该直线垂直的半直线。其它“点在直线上”等概念是自明的，罗巴契夫斯基证明了这种几何满足罗氏几何的全部性质。因此，如果欧氏几何成立，那么罗氏几何也成立。罗巴契夫斯基还通过在罗氏几何中构造欧氏几何而证明了，若罗氏几何成立，欧氏几何也成立。 罗氏几何的诞生不仅解决了欧几里德关于平行公理的地位问题，而且对于公理观引起了深刻的变化。“公理”不一定是“真理”。

68. 问：公理如果不是真理又有什么用呢？

69. 沙： 罗巴契夫斯基关于罗氏几何与欧氏几何具有同样合理性的证明，说明了从“逻辑”和数学的角度无法判断欧氏平行公理与罗氏平行公理哪个是真理，哪个是谬误。于是对于公理的解释只能是“假设”，至于哪条假设更合理就成为应用问题，要研究我们周围的空间到底适合于欧氏几何还是罗氏几何。 当我们从理论上研究几何学时并不一定要先证明“公理”是否都是真理，都是符合实际的。我们可以在一组公理，也就是一组假设下运用形式逻辑与数学方法进行研究。结论的合理性定会依赖于假设的成立以及形式逻辑与数学方法运用的正确性。而结论的可用性则作为应用问题。在应用中验证公理或假设的合理性。 对公理的这种理解、解释大大地促进了数学的发展。使数学家们可以更自由地运用公理化方法进行研究。例如“群”实际上就是一组元素及其间运算满足一定规律的集合体。群论可以在这样的假设基础上展开研究，至于群论可用于什么对象则作为应用问题。